【RESPチーム四方山話】固有値解析、下から見るか？上から見るか？

$$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{K}} $$

この平方根の中の \( \frac{M}{K} \) が固有値です。つまり、この場合は大きい固有値は周期が長くなります。
しかし、前述の一般化固有値問題から標準固有値問題に変換する時に質量マトリクスをコレスキー分解、もしくは、逆行列として扱った場合は \( \frac{K}{M} \) として考えたという事になるので、固有値は先ほどの逆数となります。
大小関係も反転するため、剛性マトリクス、質量マトリクスのどちらを分母側で扱うかで標準固有値問題の \( A^{\prime} \) 行列の固有値の大きい方からの順番が入れ替わるわけです。

知りたいのが大きい順なのか、小さい順なのか

前述の通り、建築では固有値が大きい順というよりは固有周期が長い方から順番に欲しくなります。
そうなると質量マトリクスをコレスキー分解した場合（パターン1）は標準固有値問題の固有値が小さい順に、剛性マトリクスをコレスキ ー分解した場合 （パターン2） は固有値が大きい順に欲しいというわけです。
インターネットの説明を見ていてもコレスキー分解をするという説明はよく見ますが、 剛性マトリクス なのか質量マトリクスなのかは記載されていない事が多いです。
建築では質量マトリクスを対角行列として扱う事が多いので、コレスキー分解が対角成分の平方根そのままにできるということで質量マトリクスをコレスキー分解するという説明も見ます。
ただ、大規模なモデルのためサブスペース法などを使う時に大きい方が求まるのか、小さい方が求まるのかを意識しないと何次まで求めても、影響の大きいモードが全然出てこないという事態に陥ります。
個人的には、質量マトリクスをコレスキー分解するのは小さいからn個だけを求めるために手順が増えますし、整合質量マトリクス（非対角項にも値がある対称行列）を使っている場合は上記のメリットもなくなるので、剛性マトリクスをコレスキー分解する方が楽に感じています。

閑話

サブスペース法のアルゴリズムが掲載されている本は最近の書籍ではあまり見ないのですが、割と新しい本では同時反復法というアルゴリズムをサブスペース法として載せられている例を見たことがあります。同時反復法は、「べき乗法」という最大固有値に対応する固有ベクトルが1つだけ求まる解法の拡張版です。しかし、厳密にいうと「サブスペース法」と「同時反復法」は区別される風潮が昔はあったみたいです。本質的には考え方は同じと思いますが、 同時反復法は変換した標準固有値問題を解くアルゴリズムであって、サブスペース法は開発者のK・J・Batheが考案した標準固有値問題に変換せずに、一般化固有値問題を解くアルゴリズムを指すようです。 Batheはサブスペース法の開発のために、ヤコビ法を拡張して一般化ヤコビ法というアルゴリズムを開発して、サブスペース法の流れに組み込んだようなので当時の人は流派を明確にしたかったのでしょうか。ソースコード上ではぱっと見でやっていることは違うので区別されること自体は納得できます。1970年頃の話ですがご存じの方がいたらコメントをいただけると幸いです。

まとめ

固有値解析のプログラムを自作する場合にはこのような事を意識しないといけません。教科書には載っていないように思えるのでやってみて初めて考えることだと思います。
数値解析ライブラリが増えたこの世の中において自作で固有値問題や連立方程式を解くことは稀かもしれませんがこういう経験も意外にソルバ開発の面白さだと思います。Pythonでlinalg.eig関数などを使う場合に引数の質量マトリクス、剛性マトリクスの順番で固有値の並びが変わるところでも確認できますので興味がある方は試してみてください。※ただ、 linalg.eig関数は仕様なのかそもそもの固有値の順番が謎の場合があるようです。