長年の疑問

限界耐力計算の考え方によると、どうやらQ-δ曲線の履歴面積≒部材の総ひずみエネルギーになるということのようです。

ですが、多くの建物は梁ヒンジでエネルギー吸収をするのに、なぜ柱のせん断力と変形を集計しただけの層せん断力ー変形曲線の面積で建物全体のエネルギーを評価できるんでしょうか?

 

この件については長年疑問だったのですが、少し前に委員会でお世話になっている先生方のご指導のおかげで理解できましたので、解説したいと思います。

 

解説

外部エネルギーと内部エネルギー

まず前提として考えるべきことは、外部エネルギー=内部エネルギーとなる、という点です。

そんな事知ってるよ、と思われると思いますが、説明のステップとしてここからはじめるのがわかりやすいと思いますのでご容赦ください。

外部エネルギーは、御存知の通り (エネルギー)=(力)×(移動量)で表されます。

建築構造においては、一般的に外力が作用するのは節点位置となりますので、(外部仕事) = (節点力)×(節点変位) で表されます。(※正確には、外力が0の状態から10の状態に載荷されるというイメージだと仕事量は 1/2×力×変位 となるのですが、説明を簡単化するために1/2は省略します)

 

一方、内部エネルギーは各部材ごとに求められます。

外部エネルギーとの違いは、外部エネルギーでは力の部分が「節点力」だったのに対し、「部材内力」になるという点だけです。ただ、部材ごとの座標系でそれぞれ集計するとエネルギーの合算が行えないので、全体座標系に座標変換した内力に対して、節点変位を乗じて内部エネルギーを算出することになります

 

十字型接合部の力の釣り合いとエネルギーの釣り合い

 

水平力が作用する十字型接合部の節点周りにおける外部エネルギーと内部エネルギーを考えます。

 

 

左辺外部エネルギー、右辺内部エネルギーとすると以下のような関係になります(上下変位は生じないものとしています)。

P×δx = Qu×δx+Qd×δx+Mu×θ+Md×θ+Ml×θ+Mr×θ

 

P : 水平外力

δx : 節点水平変位

θ : 節点回転変位

Qu : 上柱せん断力

Qd : 下柱せん断力

Mu : 上柱モーメント

Md : 下柱モーメント

Ml : 左梁モーメント

Mr : 右梁モーメント

 

右辺はさらに以下のようにθでまとめられます。

Qu×δx+Qd×δx+Mu×θ+Md×θ+Ml×θ+Mr×θ = Qu×δx+Qd×δx+(Mu+Md+Ml+Mr)×θ

ここまでくると気づいた方もいらっしゃると思いますが、モーメントは節点周りで釣り合いますので、(Mu+Md+Ml+Mr) = 0 になります

つまり、

P×δx = Qu×δx+Qd×δx

だけが残り、これは単純に外力の釣り合い式である P = Qu+Qd の両辺にδxを乗じただけです(※QuとQdは符号が逆転することに注意)。つまり、内部エネルギーは柱のせん断力と水平変形だけで表現できるということになります

梁の項が消え去ってしまうことが不思議に感じますが、柱の変形や応力には梁の剛性や応力が寄与してますので、間接的に表現されているということになるかと思います。

なぜ節点周りでエネルギーが釣り合うのか?

一見不思議に感じるのが、「エネルギーが節点周りで釣り合う」という点かと思います。

節点周りでのモーメントの釣り合いが (Mu+Md+Ml+Mr) = 0 となるのは周知のことと思いますが、同様に節点周りでのエネルギーの釣合は (Mu×θ+Md×θ+Ml×θ+Mr×θ) = 0 となるという点が私も最初どういうことかわかりませんでした。モーメントに正負があるのはわかりますが、エネルギーに符号の概念はないはずだからです。これは実際には、節点の回転によってひずみエネルギーが軽減される、ということを表していると言えます

これを理解するために、柱を例に取って考えてみます。

梁の固定度が極めて高ければ、柱頭、柱脚側の回転はほとんど生じず、柱に生じる水平変形はせん断変形を無視すれば曲げ変形のみで構成されることになります。一方で、固定度が低ければ柱頭、柱脚節点が回転することにより、部材自体が傾き、実際に柱に生じる曲げ変形が緩和されることになります。これが、ひずみエネルギーを減らす方向に作用し、そのエネルギーを低減させる成分だけを取り出すとあたかも負のエネルギーのような数値となってしまう、ということになります。

 

柱単体としてのひずみエネルギー

 

ここまでで、内部エネルギーは柱のせん断力と水平変形だけで表せることがわかりました。

ここで、視点を柱単体に切り替え、せん断力を柱頭、柱脚という観点で考えます。

柱頭せん断力 Qt, 柱脚せん断力Qb, 柱頭水平変位 δt, 柱脚水平変位 δb とすると、柱のひずみエネルギーは以下で表されます。

(柱ひずみエネルギー) = Qt × δt + Qb × δb

 

中間荷重がなければ、柱せん断力 Q = Qt = – Qb となり、層間変位 δ = δt – δb と表すと、

(柱ひずみエネルギー) = Q × δ

となります。

つまり、柱のひずみエネルギーはせん断力×層間変位で表せることになります。

ここまでくれば、柱せん断力の合計である層せん断力に層間変位を乗じたエネルギーが、外部入力エネルギーと釣り合うことがわかります

 

ひずみエネルギーは成分ごとには求まらない

ここまでの説明で、表題の「層せん断力-層間変位曲線の履歴面積≒部材の総ひずみエネルギー」については説明がついたと思います。

一方、ここまで考えて改めて気がついたことがあります。

それは、部材の内部エネルギーは、厳密には「柱脚曲げの内部エネルギー」、「柱頭曲げの内部エネルギー」のような形で独立しているものではない、ということです。

「骨格曲線の履歴面積からエネルギーを算出する」と考えていると一見それぞれの成分ごとにエネルギーが独立しているように思えてしまいますが、これまで説明したとおり、力の向きと変形の向きによってはある成分だけを抽出するとエネルギーを軽減させる方向に作用することがあります。柱頭・柱脚の並進変形とせん断力、回転変形とモーメントが相互に作用してトータルとしてのエネルギーが求まるため、分離することはできないということになります。柱脚の回転によっても柱頭のモーメントは影響を受けますし、逆も然りです。実際の内部エネルギーの計算としては、シンプルに (部材の全体座標系の内力ベクトル)×(部材の全体座標系の変位ベクトル)で計算するということになります。そう考えると、外部エネルギーの考え方に対して内部エネルギーは集計を変えただけ、ということですっきりします。

そうすると、普段構造計算で良く用いられている、「M-θ骨格曲線の履歴面積をエネルギーとみなす」という方法が大丈夫なのか、という疑問が生じると思います。

結論からいうと、問題ありません。

これは、従来の計算で柱や大梁のモデル化によく用いられている材端剛塑性バネ法の場合は、両端が同じモーメント(逆対称モーメント)であることを前提として、両端節点の並進変形、回転変形を考慮したたわみ角をθとしてM-θ関係を定義しているため、このような計算で履歴エネルギーを算出することができるということになります(実際に生じるモーメントが逆対称曲げでないときは精算とはなりませんが、それは別の問題と考えます)。始端と終端のモーメント、回転角が同じ、とみなすことで、それぞれの成分を独立しているかのように扱える、というわけです。その代わり、材端剛塑性バネ法の梁要素でM-θ関係からエネルギーを計算した場合には、せん断力-せん断変形によるエネルギー(Q×δ)を加算するとダブルカウントになる、ということになります。

 

まとめ

  • 応力が節点周りで釣り合うのと同様、エネルギーも節点周りで釣り合う。
  • 外力が水平力だけであれば、部材のひずみエネルギーの合計は層せん断力-層間変位による履歴面積と一致する(※ねじれがない場合)。
  • 正確に部材のひずみエネルギーを算出する場合には、曲げやせん断など成分ごとに履歴面積からエネルギーを出すのではなく、節点周りの力、変形関係を用いて部材ごとに算出する必要がある。

 

 

 

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