何となく意味は知っているけども・・・
振動解析プログラムを動かしていて「刺激係数」という値は知っていても、どういう値なのかわかりづらいなどありませんでしょうか。ネットで調べても、何やらそのモードの影響度合いを表しているなどの説明がヒットするのですが、何に対する影響度合いなのかなどいまいちピンとこないようなものではないでしょうか。なんだか符号が正だったり負だったりするし、立体解析の場合は自由度ごとに出ています。
もちろん最初から本質を理解した聡明な方もいらっしゃると思いますが、私がプログラムを開発していく中で刺激係数をこう見たら面白いと思ったことを何回かに分けて記載してみます。今回は刺激係数自体の基本的な話となります。
刺激係数の求め方
まずは刺激係数の求め方を調べてみます。振動論の本などを読むと刺激係数の求める時に以下の式が書いてあります。$$_{s} \alpha = \frac{ _{s} \lbrace u \rbrace^T [M] \lbrace w \rbrace }{ _{s} \lbrace u \rbrace^T [M] _{s} \lbrace u \rbrace } \tag{1}$$
$$ \lbrace w \rbrace = _{1} \alpha ・ _{1} \lbrace u \rbrace + _{2} \alpha ・ _{2} \lbrace u \rbrace + \cdots + _{N} \alpha ・ _{N} \lbrace u \rbrace \tag{2}$$
$$ _{i} \lbrace u \rbrace^T [M] _{j} \lbrace u \rbrace = 0 \hspace{10pt} (i \neq j )\tag{3}$$
\( \hspace{25pt} _{1} \lbrace u \rbrace^T [M] \lbrace w \rbrace \\\
\hspace{10pt} = \underline{ _{1} \alpha ・ _{1} \lbrace u \rbrace^T [M] _{1} \lbrace u \rbrace }+ _{2} \alpha ・ _{1} \lbrace u \rbrace^T [M] _{2} \lbrace u \rbrace + \cdots +
_{N} \alpha・ _{1} \lbrace u \rbrace^T [M] _{N} \lbrace u \rbrace
\\\)
$$
_{1} \lbrace u \rbrace^T [M] \lbrace w \rbrace = \underline{ _{1} \alpha ・ _{1} \lbrace u \rbrace^T [M] _{1} \lbrace u \rbrace } \tag{4}
$$
$$
_{1} \alpha
=
\frac{ _{1} \lbrace u \rbrace^T [M] \lbrace w \rbrace }
{ _{1} \lbrace u \rbrace^T [M] _{1} \lbrace u \rbrace }
\tag{5}$$
次に、刺激係数とは(1)を使って地動加速度の分布ベクトルと呼ばれるベクトルを固有ベクトルの線形結合に分解した時の係数 \( \beta \) のことを指しています。
$$ \lbrace 1 \rbrace = _{1} \beta ・ _{1} \lbrace u \rbrace + _{2} \beta ・ _{2} \lbrace u \rbrace + \cdots + _{N} \beta ・ _{N} \lbrace u \rbrace \tag{6}$$
地動加速度の分布ベクトルって？
地動加速度の分布ベクトルの説明について、まず振動方程式を思い浮かべてください。※ここからはベクトルなのかスカラーなのかが重要になってくるので意識して見てください。$$ [M] \ddot{ \lbrace x \rbrace} + [C] \dot{\lbrace x \rbrace} + [K] \lbrace x \rbrace = [M] \ddot{ \lbrace x_0 \rbrace } \tag{7}$$
質量がマトリクスで表現されているので、スカラー値の \( \ddot{ x_0 } \) をベクトルにする役割があります。例えば、３質点系モデルで（7）の右辺を詳細に書くと(8)となります。
$$
\left(\begin{array}{ccc} { m_{1} } & { 0.0 } & { 0.0 } \\\
{ 0.0 } & { m_{2} } & { 0.0 } \\\
{ 0.0 } & { 0.0 } & { m_{3} } \end{array}\right)
\color{red}{ \left\{\begin{array}{c} { {\ddot{ x_0 }} } \\\ { {\ddot{ x_0 }} } \\\ { {\ddot{ x_0 }} }\end{array}\right\} }=
\left(\begin{array}{ccc} { m_{1} } & { 0.0 } & { 0.0 } \\\
{ 0.0 } & { m_{2} } & { 0.0 } \\\
{ 0.0 } & { 0.0 } & { m_{3} } \end{array}\right)
\times
\color{red}{{\ddot{ x_0 }}}
\color{red}{\times}
\color{red}{\left\{
\begin{array}{c}
{ 1 } \\\
{ 1 } \\\
{ 1 }
\end{array}
\right\}}
\tag{8}$$
刺激係数の絶対値が大きければそのモードが振動系に与える影響が大きいというのは、地表面の加速度を各質量に分配する地動加速度の分布ベクトルを、固有ベクトルを使って表した時の係数というところからきています。
方向別の地動加速度の分布ベクトル
串団子の質点系モデルでは全体の自由度が1方向しかないので、すべてが1となるベクトルですが、立体振動解析ではXYZの3方向に地震波がわかれています。例えば、2節点で各節点の自由度が XYZ方向の振動解析の場合、(7)の右辺側は次のようになります。$$
M
\left\{\begin{array}{c}
{ {\ddot{ x_0 }} } \\\ { {\ddot{ y_0 }} } \\\ { {\ddot{ z_0 }} } \\\ { {\ddot{ x_0 }} } \\\ { {\ddot{ y_0 }} } \\\ { {\ddot{ z_0 }} }
\end{array}\right\} =
M
\times
{\ddot{ x_0 }}
\times
\left\{\begin{array}{c}
{ 1 } \\\ { 0 } \\\ { 0 } \\\ { 1 } \\\ { 0 } \\\ { 0 }
\end{array}\right\} +
M
\times
{\ddot{ y_0 }}
\times
\left\{\begin{array}{c}
{ 0 } \\\ { 1 } \\\ { 0 } \\\ { 0 } \\\ { 1 } \\\ { 0 }
\end{array}\right\} +
M
\times
{\ddot{ z_0 }}
\times
\left\{\begin{array}{c}
{ 0 } \\\ { 0 } \\\ { 1 } \\\ { 0 } \\\ { 0 } \\\ { 1 }
\end{array}\right\}
\tag{9}
$$
$$
M =
\left(\begin{array}{ccc} { m_{1} } & { 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } \\\
{ 0.0 } & { m_{1} } & { 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } \\\
{ 0.0 } & { 0.0 } & { m_{1} } & { 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } \\\
{ 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } & { m_{2} } & { 0.0 } & { 0.0 } \\\
{ 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } & { m_{2} } & { 0.0 } \\\
{ 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } & { 0.0 } & { m_{2} } \end{array}\right)
\tag{10}$$
