前回、制御系の設計おける低次元化の解析結果概要について記事で説明しました。今回は低次元化の方法について説明していきたいと思います。

モード特性について

低次元化には元のモデルの固有値解析結果を使います。 非減衰系の一般化固有値問題を解いた固有ベクトルは質量マトリクス、剛性マトリクスを対角化する事が出来ます。この対角成分をモード剛性、モード質量といいました。

$$
Φ^\top M Φ = \left(
\begin{array}{cccc}
M_{ 1 } & 0 & \ldots & 0 \\\
0 & M_{ 2 } & \ldots & 0 \\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\
0 & 0 & \ldots & M_{ n }
\end{array}
\right)
$$

$$
Φ^\top K Φ = \left(
\begin{array}{cccc}
K_{ 1 } & 0 & \ldots & 0 \\\
0 & K_{ 2 } & \ldots & 0 \\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\
0 & 0 & \ldots & K_{ n }
\end{array}
\right)
$$

Mは質量マトリクス、Kは剛性マトリクス、Φは固有ベクトルです。 この二つの値の物理的意味を考えた事はありますでしょうか。等価な一自由度系に置き換えた時の剛性と質量という意味ですが、固有ベクトルの大きさによってこの値は変わります。固有ベクトル自体は大きさに意味はないので、物理的な意味が少々あいまいです。

任意の自由度を1.0として基準化する

固有ベクトルの任意の自由度を1.0にして基準化すると、その自由度で振動する時の等価質量となるモード質量が得られ、物理的な意味がはっきりします。 例えば、(1)の固有モードが速度 vで振動する時の各自由度の速度は(2)のようになります。

$$ \lbrace x_1, x_2 , \cdots ,x_n \rbrace ^T  \tag{1}$$

$$ vx_1, vx_2 , \cdots , vx_n  \tag{2}$$

(m_n)をn番目の節点の質量とすると系全体の運動エネルギーは次のようになります。

$$ \frac{1}{2}\ ( m_1 v^2 x_1^2+ m_2 v^2 x_2^2 +  \cdots + m_nv^2x_n^2 ) \tag{3}$$

この中でj点に注目し、 j点の等価質量を (M_j)とすると等価1自由度系としてのエネルギーは次の様に表せます。

$$ \frac{1}{2}\ M_j v^2x_j^2 \tag{4}$$

このモードの全体のエネルギーを着目した点で集約していると考え、(3)、(4)が同じエネルギーとすると次のようになります。

$$ \frac{1}{2}\ M_j v^2x_j^2 = \frac{1}{2}\ ( m_1 v^2 x_1^2+ m_2 v^2 x_2^2 +  \cdots + m_nv^2x_n^2 ) $$

$$ M_j = m_1 \left( \frac{x_1}{x_j}\right)^2+ m_2 \left( \frac{x_2}{x_j}\right)^2 +  \cdots m_2 \left( \frac{x_j}{x_j}\right)^2  \cdots + m_n\left( \frac{x_n}{x_j}\right)^2 $$

これをマトリクス表示する次のようになります。

$$
M_j =
\begin{pmatrix} \frac{x_1}{x_j} \\\ \frac{x_2}{x_j} \\\ \vdots \\\ \color{red}{\frac{x_j}{x_j}} \\\ \vdots \\\ \frac{x_n}{x_j} \end{pmatrix}^T
\left(
\begin{array}{cccccc}
m_{ 1 } & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\\
0 & m_{ 2 } & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ldots & \ldots & 0 \\\
\vdots & \vdots & \vdots & m_{ j } & \ldots & 0 \\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m_{ n } \
\end{array}
\right)
\begin{pmatrix} \frac{x_1}{x_j} \\\ \frac{x_2}{x_j} \\\ \vdots \\\ \color{red}{\frac{x_j}{x_j}} \\\ \vdots \\\ \frac{x_n}{x_j} \end{pmatrix}
$$

これは着目している自由度の固有ベクトルを1.0に基準化した形になっています。 つまり、任意の自由度を1.0に基準化してモード質量を計算すると等価な1自由度で振動する時にそのモード全体のエネルギーを表現できる質量になっているといえます。

低次元化方法

まず低次元化をする自由度を決めます。その自由度での等価質量を求めて、その平方根で除して基準化します。

$$ \frac{Φ_i}{ \sqrt{ M_ij } } $$

(Φ_i)はi次の固有ベクトル、(M_ij)はi次のj番目の自由度の等価質量です。
これは質量マトリクスを固有ベクトルの掛け算に分解した形となります。固有振動数を使えば、剛性マトリクスも表現する事ができます。

$$
M =(ΦΦ^\top)^{-1} \tag{5}
$$

$$
K = {Φ^\top}^{-1} Ω^2 {Φ}^{-1} \tag{6}
$$

そして、低次元化する自由度の値を抜き出して新しい低次元化した固有ベクトルを作ります。※これはかなり雑な操作です。
図としてあらわすと以下のようなイメージです。

$$
\begin{pmatrix} \ \color{red}{-1.09}\\\ -0.40 \\\ 0.52 \\\ \color{red}{1.0} \\\ 0.77 \end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix} \ \color{red}{-1.09} \\\ \color{red}{1.0}\end{pmatrix}
$$

新しく低次元化して作成した固有ベクトルを(5)を使えば低次元化された質量マトリクスとなります。
しかし、出来上がった質量マトリクスは任意の値を抽出した固有ベクトルを使うので質量連成項が現れます。例えば前回の例題で計算してみると次のようになりました。 質量連成がなくなるように固有ベクトルを修正します。この修正は連成項が0になるような固有ベクトルで有れば良いのですが、なるべく元の固有ベクトルと近くなるよう修正量がノルム最小解となるような修正をします。 こうして修正された固有ベクトルから作られた質量マトリクスは集中形となり、低次元化がされました。修正後の固有ベクトルを(6)にも適用すれば低次元化された剛性マトリクスも作成できます。

閑話 ー 前回のクイズの答え

前回、この剛性マトリクスには工夫があるという事でしたが、分かりましたでしょうか。答えは一番上の質点に負の剛性を持ったバネを使っている事です。 串団子の質点系モデルで全体剛性マトリクスを作成すると三重対角行列となります。一番上の質点はバネが一つ付いているだけなので、連成項と最上の対角成分の値は符号を入れ替えただけとなります。例えば4質点系の串団子モデルで剛性マトリクスを作成すると以下のような形になります。

$$
\left(
\begin{array}{cccc}
K_{ 1 }+ K_{ 2 } & – K_{ 2 } & 0 & 0 \\\
– K_{ 2 } & K_{ 2 }+ K_{ 3 } & – K_{ 3 } & 0 \\\
0 & – K_{ 3 } & K_{ 3 }+ K_{ 4 }& \color{red}{-K_{ 4}} \\\
0 & 0 & \color{red}{- K_{ 4 }} & \color{red}{K_{ 4}}
\end{array}
\right)
$$

しかし、修正後の全体剛性マトリクスは連成項と対角項の値は異なります。そこで、解析ソフトで入力しようとすると最上の階の自由度には負の剛性を持ったバネを入れる事でモデル化する事となります。

$$
\left(
\begin{array}{cccc}
1.43×10^{8} & -6.85×10^{7} \\\
-6.85×10^{7}& 6.85×10^{7} \color{red}{-1.11×10^{7}}
\end{array}
\right)
$$

この負の剛性の物理的意味はあまり深く考えず、再現するシステムを表すために便宜的に導入している程度の解釈でよいと思っています。

まとめ

フィードバック制御ではすべてを観測する必要があるのですが、このように低次元化することで観測できない自由度をなくし、観測可能な自由度を残すことですべての状態と表現することができます。しかし、完全に好き勝手に低次元化してもよいわけではありません。低次元化することで消してしまう振動モードの影響がなくなるようにする必要があります。次回は低次元化する時に留意する点について記事にします。

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